Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形， ，且， 是邊長為2的正三角形，頂點在上的射影為點，且， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）　取的中點為，連接利用直角三角形的性質，可分別求出的值，由勾股定理得．可得面，可證平面平面；（2）以所在直線為軸， 所在直線為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出兩個半平面的法向量，利用法向量的夾角與二面角的夾角的關系，可求二面角的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）證明：由頂點在上投影為點，可知， ．

取的中點為，連結， ．

在中， ， ，所以．

在中， ， ，所以．

所以， ，即．

∵

∴面．

又面，所以面面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，且

所以 面，且面．以所在直線為軸， 所在直線為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

， ， ，

設平面， 的法向量分別為，則

，則，

，則

，

，

所以二面角的余弦值為．