Question

已知二次函數.
（1）若，試判斷函數零點個數；
（2）是否存在，使同時滿足以下條件
①對任意，且；
②對任意,都有。若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。
（3）若對任意且，，試證明存在，
使成立。

Answer 1

（1）函數有兩個零點。（2）當時，同時滿足條件①、②. （3）利用零點存在性定理證明即可

試題分析：（1） 
當時，
函數有一個零點； 3分
當時，，函數有兩個零點。        5分
（2）假設存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，
∴即    7分
由②知對,都有
令得又因為恒成立， 
，即，即
由得，   10分
當時，，
其頂點為（－1，0）滿足條件①，又對,
都有，滿足條件②.
∴存在，使同時滿足條件①、②. .12分
（3）令，則

，

在內必有一個實根。即，
使成立   18分
點評：①二次函數、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，也是高考熱點，要深刻理解它們相互之間的關系，能用函數思想來研究方程和不等式，便是抓住了關鍵.②二次函數的圖像形狀、對稱軸、頂點坐標、開口方向等是處理二次函數問題的重要依據.