【題目】已知函數
.
（1）當
時，求
在
處切線方程；
（2）討論
的單調區間；
（3）試判斷
時
的實根個數說明理由.
【答案】（1）
；
（2）當
時，函數
的增區間是
，減區間是
；
當
時，函數的增區間是
，減區間是
；
當
時，函數的增區間是
；
當
時，函數的增區間是
，減區間是
;
（3）只有一個零點.
【解析】
（1）求出函數的導數，把代入，
，代入導函數中，求出切線的斜率，求出切線方程；
（2）
，根據
的正負性以及
之間的大小關系，進行分類，確定的不同區間，求出不同區間下，函數的單調性；
（3）由（2）可知：當時，函數的增區間是，減區間是，求出函數的極大值、極小值，再判斷出當
時，
，由此可以判斷出函數的零點的情況.
（1），
當時，
，
，所以
在
處切線方程為
，化簡得：
,
即.
（2）,函數的定義域為
，
①當時，當
時，
，函數單調遞減，當
時，
，函數單調遞增；
②當時，當時，，函數單調遞增， 當
時，，函數單調遞減，當
時，，函數單調遞增；
③當時，， 當時，函數單調遞增；
④當時，當
時，，函數單調遞增， 當
時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增；
綜上所述：
當時，函數的增區間是，減區間是；
當時，函數的增區間是，減區間是；
當時，函數的增區間是；
當時，函數的增區間是，減區間是.
（3）由（2）可知：當時，函數的增區間是，減區間是，
所以
是極大值點，
是極小值點，
，
，時，，所以時，
的實根個數為1個.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
，
兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：
組：10，11，12，13，14，15，16
組：12，13，15，16，17，14，
假設所有病人的康復時間互相獨立，從，兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的
人記為乙．
（Ⅰ）求甲的康復時間不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果
，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率；
（Ⅲ）當為何值時，，兩組病人康復時間的方差相等？（結論不要求證明）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E、F分別是PC、AD中點，
(1)求證：DE//平面PFB；
(2)求PB與面PCD所成角的正切值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查乘客的候車情況，公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間（單位：分鐘）作為樣本分成5組，如表所示：
組別 | 候車時間 | 人數 |
一 |
| 2 |
二 |
| 6 |
三 |
| 4 |
四 |
| 2 |
五 |
| 1 |
（1）估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數；
（2）若從上表第三、四組的6人中隨機抽取2人作進一步的問卷調查，求抽到的兩人恰好來自同一組的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下命題，①若實數
，則
．
②歸納推理是由特殊到一般的推理，而類比推理是由特殊到特殊的推理；
③在回歸直線方程
中，當變量
每增加一個單位時，變量
一定增加0．2單位．
④“若
，則復數
”類比推出“若
，則
”；
正確的個數是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列有關命題的說法正確的是___（請填寫所有正確的命題序號）．
①命題“若
，則
”的否命題為：“若，則
”；
②命題“若
，則
”的逆否命題為真命題；
③條件
，條件
，則
是
的充分不必要條件；
④已知
時，
，若
是銳角三角形，則
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
離心率為
，四個頂點構成的四邊形的面積是4.
(Ⅰ)求橢圓
的方程；
(Ⅱ)若直線
與橢圓交于
均在第一象限，與
軸、
軸分別交于
、
兩點，設直線的斜率為
,直線
的斜率分別為
，且
(其中
為坐標原點).證明: 直線的斜率為定值.
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