Question

【題目】如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF 2CE，G是線段BF上一點，AB=AF=BC．
（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求 的值；
（Ⅱ）求二面角A﹣BF﹣E的大小的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC， AF⊥AC，∴AF⊥平面ABC，則平面ABF⊥平面ABC，
過G作GD⊥AB，垂足為D，則GD⊥平面ABC，連接CD，
由GD⊥平面ABC，AF⊥平面ABC，AF∥CE，可得GD∥CE，
又EG∥平面ABC，∴EG∥CD，則四邊形GDCF為平行四邊形，
∴GD=CE= ，
∴ = ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AF⊥AB，AF⊥BC
∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ABF．
如圖，以A為原點，建立空間直角坐標系A﹣xyz．
則F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），
=（0，2，0）是平面ABF的一個法向量．
設平面BEF的法向量 =（x，y，z），則
，令y=1，則z=﹣2，x=﹣2， =（﹣2，1，﹣2），
∴cos＜ ， ＞= = ，
∴二面角A﹣BF﹣E的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，可得AF⊥AC，則AF⊥平面ABC，得到平面ABF⊥平面ABC，過G作GD⊥AB，垂足為D，則GD⊥平面ABC，連接CD，可證得則四邊形GDCF為平行四邊形，從而得到GD=CE= ，則G為BF的中點，得到 的值；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．