Question

【題目】已知函數f（x）= ，其中m，n，k∈R．
（1）若m=n=k=1，求f（x）的單調區間；
（2）若n=k=1，且當x≥0時，f（x）≥1總成立，求實數m的取值范圍；
（3）若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在兩個極值點x1、x2 ， 求證： ＜f（x1）+f（x2）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=n=k=1，f′（x）= ，

∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1時，f′（x）＞0，

∴函數的單調減區間是（0，1），單調增區間是（﹣∞，0），（1，+∞）；

（2）解：若n=k=1，且當x≥0時，f（x）≥1總成立，則m≥0．

m=0，f（x）= ，f′（x）= ≥0，∴f（x）min=f（0）=1；

m＞0，f′（x）= ，

0＜m≤ ，f（x）min=f（0）=1；

m≥ ，f（x）在[0， ]上為減函數，在[ ，+∞）上為增函數，f（x）min＜f（0）=1不成立．

綜上所述，0≤m≤ ；

（3）證明：f（x）= ，f′（x）= ．

∵f（x）存在兩個極值點x1，x2，∴4m2﹣4m＞0，∴m＞1．

令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2= ，

注意到 （i=1，2），

∴f（x1）= ，f（x2）= ，

∴f（x1）+f（x2）= = （ ）

＞ = = ；

∵ （ ）＜ ＜ ，

∴ ＜f（x1）+f（x2）＜ ．

【解析】（1）若m=n=k=1，求導數，利用導數的正負，求f（x）的單調區間；（2）若n=k=1，且當x≥0時，f（x）≥1總成立，先確定m≥0，在分類討論，確定函數的最小值，即可求實數m的取值范圍；（3）令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2= ，再結合基本不等式，即可證明結論．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．