Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx﹣1．
（1）若函數f（x）在區間[1，+∞）上遞增，求實數a的取值范圍；
（2）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）．

由題意可得 在區間[1，+∞）上恒成立，

所以a≥（ ）max，又y= 在區間[1，+∞）上遞減，

所以（ ）max=1，

即實數a的取值范圍為[1，+∞）

（2）證明：取a=1，由（1）有f（x）在區間[1，+∞）上遞增，

所以，當x＞1時，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，

因為 ，

所以 ，即 ，

所以： ， ，

ln ＜ ，…， ，ln ＜ ，

所以： ，

ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln（n+1）﹣lnn+ln（n+2）﹣ln（n+1）＜1+ + +…+ ，

即 ，得證

【解析】（1）由題意可得 在區間[1，+∞）上恒成立，所以a≥（ ）max，由單調性可得最大值，即可得到a的范圍；（2）取a=1，由（1）有f（x）在區間[1，+∞）上遞增，可得當x＞1時，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，因為 ，所以 ，即 ，運用累加法，以及對數的運算性質即可得證．