Question

【題目】為了弘揚民族文化，某校舉行了“我愛國學，傳誦經典”考試，并從中隨機抽取了100名考生的成績（得分均為整數，滿分100分）進行統計制表，其中成績不低于80分的考生被評為優秀生，請根據頻率分布表中所提供的數據，用頻率估計概率，回答下列問題．

分組	頻數	頻率
[50，60）	5	0.05
[60，70）	a	0.20
[70，80）	35	b
[80，90）	25	0.25
[90，100）	15	0.15
合計	100	1.00

（I）求a，b的值及隨機抽取一考生恰為優秀生的概率；
（Ⅱ）按頻率分布表中的成績分組，采用分層抽樣抽取20人參加學校的“我愛國學”宣傳活動，求其中優秀生的人數；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問抽取的優秀生中指派2名學生擔任負責人，求至少一人的成績在[90，100]的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由頻率分布表得：

，

解得a=20，b=0.35，

由頻率分布表可得隨機抽取一考生恰為優秀生的概率為：

P=0.25+0.15=0.4．

（Ⅱ）按成績分層抽樣抽取20人時，

優秀生應抽取20×0.4=8人．

（Ⅲ）8人中，成績在[80，90）的有：20×0.25=5人，成績在[90，100]的有：20×0.15=3人，

從8個人中選2個人，結果共有n= =28種選法，

其中至少有一人成績在[90，100]的情況有兩種：

可能有1人成績在[90，100]，也可能有2人成績在[90，100]，

所以共有5×3+3=18種，

∴至少一人的成績在[90，100]的概率

【解析】（Ⅰ）由頻率分布表得 ，由此能求出a，b的值及隨機抽取一考生恰為優秀生的概率．（Ⅱ）按成績分層抽樣抽取20人時，由隨機抽取一考生恰為優秀生的概率能求出優秀生應抽取的人數．（Ⅲ）8人中，成績在[80，90）的有5人，成績在[90，100]的有3人，從8個人中選2個人，結果共有n= =28種選法，其中至少有一人成績在[90，100]的情況有兩種：可能有1人成績在[90，100]，也可能有2人成績在[90，100]，由此能示出至少一人的成績在[90，100]的概率．
【考點精析】掌握頻率分布直方圖是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．