Question

某校研究性學習小組利用假期時間從年齡在[25，55]內的人群中隨機抽取n人，進行是否具有終身學習觀念的調查，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：

組別	年齡段	具有終身學習觀念的人數	具有終身學習觀念的人數 本組人數
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	0.65
第三組	[35，40）	100	p
第四組	[40，45）	60	0.4
第五組	[45，50）	a	0.3
第六組	[50，55]	15	0.3

（I）補全頻率分布直方圖，并求n，a，p的值；
（II）從年齡在[40，50）內且具有終身學習觀念的人中采用分層抽樣法抽取12人參加某項學習活動，從這12名中再選取3人作為領隊，記這3名領隊中年齡在[40，50）內的人數為X，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

分析：（I）根據所給的除去第三小組以外的小矩形的長與寬，得到第三小組的頻率．進而得到矩形高，畫出頻率分步直方圖．根據頻數，頻率和樣本容量之間的關系做出字母的值．
（II）由題意知變量的可能取值，結合變量對應的事件，寫出變量的概率，寫出分布列和期望值．

解答：解：（I）第三小組的頻率為1-（0.04+0.06+0.03+0.02+0.01）×5=0.2∴小矩形的高為0.04，頻率分步直方圖如下：
第一組的人數為

120

0.6

=200，
頻率為0.04×5=0.2
∴n=

200

0.2

=1000
∴p=

100

200

=0.5，a=100×0.3=30
（II）∵[40，45）年齡段的具有終身學習觀念的人中采用分層抽樣法抽取12人參加某項學習活動，
[40，45）年齡段要抽8人，[45，50）要抽4人，
隨機變量X的可能取值是0，1，2，3
P（X=3）=

C 0 8 C 3 4

C 3 12

=

1

55

，P（X=2）=

12

55

，P（X=，1）=

28

55

，P（X=0）=

14

55

∴X的分布列是  

X	3	2	1	0
P	1 55	12 55	28 55	14 55

∴EX=

1

55

×3+

12

55

×2+

28

55

×1=1

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是正確使用頻率分步直方圖，從圖形中能夠找到要用的條件．