Question

【題目】設x3+ax+b=0，其中a，b均為實數．下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是 ． （寫出所有正確條件的編號） ①a=b=﹣3；②a=﹣3，b=2；③a=﹣3，b＞2；④a=0，b=2．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：令f（x）=x3+ax+b， 當a=b=﹣3時，f（x）=x3﹣3x﹣3，
f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），
故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數，在（﹣1，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；
f（﹣1）=﹣1，f（1）=1﹣3﹣3=﹣5，
故f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，
故方程有且只有一個根；
同理可得，
②a=﹣3，b=2不正確；
③a=﹣3，b＞2；④a=0，b=2也正確；
所以答案是：①③④．