Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求的取值范圍；

（3）已知，證明.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

（2）；

（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，分別令和即可求出單調(diào)性；（2）分離變量得恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最大值，然后求導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性即可求出的最大值，從而求得結(jié)果；（3）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)變形可得，由（2）可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合條件即可證明.

由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>且.

（1）當(dāng)時(shí)，，

若，則 ； 若，則 ，

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

（2）若恒成立，則恒成立，

又因?yàn)?/span>，所以分離變量得恒成立，

設(shè)，則，所以，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，，所以.

（3）欲證，兩邊取對(duì)數(shù)，只需證明，

只需證明，即只需證明，

由（2）可知在上單調(diào)遞減，且，

所以，命題得證.