Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若只有一個零點，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據導數的幾何意義求出切線的斜率，然后由點斜式可得所求切線方程．（2）利用導數判斷出函數的單調性和極值，進而得到函數的大體圖象，然后根據函數的圖象及極值判斷出函數只有一個零點時參數的取值范圍．

（1）當時，，

所以，

故，

又，

所以曲線在點處的切線方程為，

即．

（2）由題意得.

（i）當，即時，

則當或時，；當時，，

所以的極小值為，

因為函數的零點，且，

所以當函數只有一個零點時，需滿足，

又，則或．

（ii）當，即時，則有，

所以為增函數．

又，

所以只有一個零點，且，

所以滿足題意．

（iii）當，即時，

則當或時，；當時，．

所以的極小值為，極大值為，

因為，，

所以，

又，所以．

綜上可得或．

實數的取值范圍為．