Question

【題目】定義在的函數的導函數為.

證明：（1）在區間存在唯一極小值點；

（2）有且僅有2個零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

(1)由題,再求導利用零點存在定理證明即可.

(2)由(1)可得在區間存在唯一極小值點,再根據零點存在定理證明即可.

解：（1）,則,

因為與在均為增函數,故在為增函數,

又,,結合零點存在性定理知：存在唯一使得,

若,；若,；故在區間存在唯一極小值點.

（2）由（1）可知在區間存在唯一極小值點,所以,

又,,結合零點存在性定理知：存在唯一使得,

存在唯一使得,故當時,,當時,,

故在和為增函數,在為減函數,則

且,由零點存在性定理：存在唯一使得,

故函數在有且僅有與兩個零點；

當時,,則,故函數在沒有零點；

綜上所述,有且僅有2個零點.