Question

已知曲線C：

x|x|

a2

-

y|y|

b2

=1，給出以下結(jié)論：
①垂直于x軸的直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)
②直線y=kx+m（k，m∈R）與曲線C最多有三個(gè)交點(diǎn)
③曲線C關(guān)于直線y=-x對(duì)稱
④若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）為曲線C上任意兩點(diǎn)，則有

y1-y2

x1-x2

＞0
寫出正確結(jié)論的序號(hào)

 

．

Answer 1

分析：去掉絕對(duì)值，化簡(jiǎn)曲線的方程，結(jié)合圖形分析每個(gè)選擇支的正確性，找出正確的選項(xiàng)．

解答：解：當(dāng)x＞0，y＞0 時(shí)，方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1，圖象是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線位于第一象限內(nèi)的部分，
當(dāng) x＞0，y＜0 時(shí)，方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1，圖象是橢圓在第四象限內(nèi)的部分，
當(dāng) x＜0，y＞0 時(shí)，方程 是

x2

a2

+

y2

b2

=-1，不表示任何圖形，
當(dāng) x＜0，y＜0 時(shí)，方程是

y2

b2

-

x2

a2

=1，圖象是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線位于第三象限內(nèi)的部分．
數(shù)形結(jié)合得，由曲線形狀知，①正確，②正確．
③不正確，∵把方程中的x換成-y，y換成-x后，得到曲線方程和原來的方程不一樣，∴曲線C不關(guān)于直線y=-x對(duì)稱．
④正確，因?yàn)閳D象上任意的2個(gè)點(diǎn)連線的斜率都大于0．
故答案為 ①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線與方程的概念，體現(xiàn)分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．