Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若關于的方程有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數的單調遞增區間，無單調遞減區間；

當時，單調遞增區間為，單調減區間為

（2）.

【解析】

（1）首先求出函數的定義域以及導函數，然后討論或，確定的符號即可求解.

（2）分離參數可得，令，利用導數求出函數的最值，即可求出實數的取值范圍.

（1）由，則函數的定義域為，

且，

當時，，即，

所以函數在上單調遞增，無單調遞減區間；

當時，令，即，解得，

令，即，解得

所以函數的單調遞增區間為，

單調遞減區間

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間，無單調遞減區間；

當時，單調遞增區間為；

單調遞減區間為；

（2）關于的方程有解，，

即有解，

即，

令，

，

設，

由在為增函數，在為增函數，

在也為增函數，

所以在為增函數，

由，

所以當時，，

當時，，

即當時，；當時，，

所以在為減函數，在為單調遞增，

所以

所以