Question

如圖，在半徑為30cm的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A、B在直徑上，點C、D在圓周上．
（1）怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積；
（2）若將所截得的矩形鋁皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），應怎樣截取，才能使做出的圓柱形形罐子體積最大？并求最大面積．

Answer 1

解：如圖所示，（1）連接OC，設BC=x，矩形ABCD的面積為S；則
AB=2（其中0＜x＜30），
∴S=2x=2≤x²+（900﹣x²）=900，
當且僅當x²=900﹣x²，即x=15時，S取最大值900；
所以，取BC=cm時，矩形ABCD的面積最大，最大值為900cm²。
（2）設圓柱底面半徑為r，高為x，體積為V，
由AB=2=2πr，得r=，
∴V=πr²h=（900x﹣x³），（其中0＜x＜30）；
由V'=（900﹣3x²）=0，得x=10；
因此V=（900x﹣x³）在上是增函數，在（10，30）上是減函數；
∴當x=10時，V的最大值為，
即取BC=10cm時，做出的圓柱形罐子體積最大，最大值為cm³．