Question

如圖，在半徑為30cm的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A、B在直徑上，點C、D在圓周上．
（1）怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積；
（2）若將所截得的矩形鋁皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），應怎樣截取，才能使做出的圓柱形形罐子體積最大？并求最大面積．

Answer 1

分析：（1）【方法一】連接OC，設BC=x，矩形ABCD的面積為S；則S=AB•BC=2x

900-x2

=2

x2(900-x2)

，由基本不等式可得S的最大值以及對應的x的取值；
【方法二】連接OC，設∠BOC=θ，矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函數的知識，得出S的最大值以及對應BC的值．
（2）【方法一】設圓柱底面半徑為r，高為x，體積為V，由AB=2πr，得r，所以V=πr²h=

1

π

（900x-x³）；利用求導法，可得x=10

3

時，V取最大值，為

6000 3

π

；
【方法二】連接OC，設∠BOC=θ，圓柱底面半徑為r，高為h，體積為V，則圓柱的底面半徑為r=

30cosθ

π

，高h=30sinθ，所以V=πr²h=

27000

π

sinθcos²θ=

27000

π

（sinθ-sin³θ），用換元法，令t=sinθ，則V=

27000

π

（t-t³），再由求導法，得t=

3

3

時，此時BC=10

3

cm時，V取得最大值即可．

解答：解：如圖所示，
（1）【方法一】連接OC，設BC=x，矩形ABCD的面積為S；則AB=2

900-x2

（其中0＜x＜30），
∴S=2x

900-x2

=2

x2(900-x2)

≤x²+（900-x²）=900，當且僅當x²=900-x²，即x=15

2

時，S取最大值900；
所以，取BC=15

2

cm時，矩形ABCD的面積最大，最大值為900cm²．
【方法二】連接OC，設∠BOC=θ，矩形ABCD的 面積為S，則BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜

π

2

）；
∴S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，且當sin2θ=1，即θ=

π

4

時，S取最大值為900，此時BC=15

2

；
所以，取BC=15

2

時，矩形ABCD的面積最大，最大值為900cm²．
（2）【方法一】設圓柱底面半徑為r，高為x，體積為V，由AB=2

900-x2

=2πr，得r=

900-x2

π

，
∴V=πr²h=

1

π

（900x-x³），（其中0＜x＜30）；由V^′=

1

π

（900-3x²）=0，得x=10

3

；
因此V=

1

π

（900x-x³）在(0，10

3

)上是增函數，在（10

3

，30）上是減函數；
∴當x=10

3

時，V的最大值為

6000 3

π

，即取BC=10

3

cm時，做出的圓柱形罐子體積最大，最大值為

6000 3

π

cm³．
【方法二】連接OC，設∠BOC=θ，圓柱底面半徑為r，高為h，體積為V，
則圓柱的底面半徑為r=

30cosθ

π

，高h=30sinθ，（其中0＜θ＜

π

2

），
所以V=πr²h=

27000

π

sinθcos²θ=

27000

π

（sinθ-sin³θ），
設t=sinθ，則V=

27000

π

（t-t³），由V^′=

27000

π

（1-3t²）=0，得t=

3

3

，
因此V=

27000

π

（t-t³）在（0，

3

3

）上是增函數，在（

3

3

，1）上是減函數；
所以，當t=

3

3

時，即sinθ=

3

3

，此時BC=10

3

cm時，V有最大值，為

6000 3

π

cm³．

點評：本題綜合考查了二次函數，三次函數的最值問題，這里應用了基本不等式，以及求導數的方法求出了函數的最值．