Question

【題目】按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為 ；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為 ．如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h1和h2 ， 則他對這兩種交易的綜合滿意度為 ．現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為mAm元和mB元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h甲 ， 乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h乙 ．
（1）求h甲和h乙關于mA、mB的表達式；當mA= mB時，求證：h甲=h乙；
（2）設mA= mB ， 當mA、mB分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：h甲= ，h乙= ，mA∈[3，12]，mB∈[5，20]

當mA= mB時，h甲= ，h乙= ，

∴h甲=h乙

（2）解：當mA= mB時，h甲= = ，

由mB∈[5，20]得 ∈[ ， ]，故當 = ，

即mB=20，mA=12時，甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為

【解析】（1）表示出甲和乙的滿意度，整理出最簡形式，在條件mA= mB時，表示出要證明的相等的兩個式子，得到兩個式子相等．（2）在上一問表示出的結果中，整理出關于變量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出兩個人滿意度最大時的結果，并且寫出等號成立的條件．