Question

【題目】如圖，直三棱柱中， ， ， ，外接球的球心為，點是側棱上的一個動點.有下列判斷：

① 直線與直線是異面直線；② 一定不垂直；

③ 三棱錐的體積為定值； ④的最小值為.

其中正確的個數是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】如圖，

∵直線AC經過平面BCC1B1內的點C,而直線C1E在平面BCC1B1內不過C,∴直線AC與直線C1E是異面直線，故①正確；

當E與B重合時,AB1⊥A1B,而C1B1⊥A1B,∴A1B⊥平面AB1C1,則A1E垂直AC1，故②錯誤；

由題意知,直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心為O是AC1 與A1C 的交點,則△AA1O的面積為定值,由BB1∥平面AA1C1C，

∴E到平面AA1O的距離為定值,∴三棱錐EAA1O的體積為定值，故③正確；

設BE=x,則B1E=2x,∴.由其幾何意義,即平面內動點(x,1)與兩定點(0,0),(2,0)距離和的最小值知,其最小值為，故④正確。

∴正確命題的個數是3個。

本題選擇C選項.