Question

已知函數，其中.
（Ⅰ）當=1時，求在（1，）的切線方程
（Ⅱ）當時，，求實數的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） 的取值范圍為（-∞，0].

試題分析：（Ⅰ）當=1時，，∴=，=，∴在（1，）的切線斜率=，∴在（1，）的切線方程為；（Ⅱ） 當時，≥0，則在[0，+∞）上是增函數，∴當時，≥=0，適合；分當時，≤0，則≤0，則在[0，+∞）上是減函數，∴當時，≤=0，不適合；當＞時，1＞＞0，則，當∈[0, ]時，≥0，當∈[,+∞）時，≤0，∴在[0, ]是增函數，在[,+∞）是減函數，當＞時，＜0，故不適合，∴的取值范圍為（-∞，0].
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，切線斜率，等于函數在切點的導函數值。（2）涉及時，成立，通過研究函數的單調性，明確了函數值取到最小值的情況，確定得到a的范圍。