Question

已知函數f (x) =
（1）試判斷當的大小關系；
（2）試判斷曲線和是否存在公切線，若存在，求出公切線方程，若不存在，說明理由；
（3）試比較 (1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013)與的大小，并寫出判斷過程．

Answer 1

（1）；
（2）方程無解，故二者沒有公切線。
（3） (1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013) 。

試題分析：（1）設，則     1分
由，時，        2分
在區間單調遞減，在區間單調遞增，         3分
所以取得最小值為，即        4分
（2）假設曲線有公切線，切點分別為和     5分
因為，所以分別以和為切線的切線方程為       6分
令即              8分
令所以由得顯然，當時，，當時，，所以，        9分
所以方程無解，故二者沒有公切線。         10分
（3）由（1）得對任意的x＞0都成立，
           11分
ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)]＞
=令=2012，      13分
則ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln(1 + 2012×2013)  ＞2×2012-3=4021，
所以(1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013)           14分
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。涉及比較大小問題，通過構造函數，轉化成了研究函數的單調性及最值。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。