Question

【題目】已知函數.

（1）若在點處的切線與直線平行，討論的單調性；

（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞增.（2）

【解析】

（1）求出的導數，求出切線的斜率，由兩直線平行可得的值，代入可得其單調性；

（2）由，可得當時，恒成立，設，對其求導可得

，令，則，對進行分析可得，，分，進行討論，可得實數的取值范圍.

解：（1）由已知得，則.

又因為直線的斜率為2，

所以，解得.

所以，定義域為.

所以，

所以函數在上單調遞增.

（2）當時，恒成立，

即當時，恒成立.

令，則.

令，則.

當時，，，所以，

所以函數為增函數.

所以，所以.

①當時，，所以當時，，

所以函數為增函數，所以，

故對，恒成立；

②當時，，當時，，

，

當，知，即.

所以函數，為減函數.

所以當時，.

從而，這與題意不符.

綜上，實數的取值范圍為.