Question

若橢圓C：上有一動點P，P到橢圓C的兩焦點 F₁，F₂的距離之和等于2，△PF₁F_2s的面積最大值為1

（I）求橢圓的方程

（II）若過點M（2，0）的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B，（O為坐標原點）且| ，求實數t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）；

（II）t的取值范圍是（－2，）∪（，2）

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。

（1）因為橢圓C：上有一動點P，P到橢圓C的兩焦點 F₁，F₂的距離之和等于2，△PF₁F_2s的面積最大值為1

利用定義和三角形的面積公式得到a,b,c的值得到橢圓方程。

（2）設出直線方程，然后與橢圓聯立方程組，得到關于變元的二次函數，然后借助于韋達定理和向量的關系式得到參數t與k的關系，然后借助于函數的性質得到范圍。

解：（I）由已知得

∴，，又∵，∴，

所以橢圓的方程為：

（II）l的斜率必須存在，即設l：

聯立，消去y得

即

由，得

設，，由韋達定理得

，

而＋＝，設P（x，y），∴

∴

而P在橢圓C上

∴，∴（*）

又∵

解之，得，∴

再將（*）式化為，將代入

得，即或

則t的取值范圍是（－2，）∪（，2）