Question

【題目】已知函數．

（1）若，求的解析式；

（2）求的值域，設，為實數），求在時的最大值；

（3）對（2）中，若對的所有實數及恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2），；

（3）或.

【解析】

（1）由且可求得定義域，可得的解析式；

（2），令，則，由此可轉化為關于的二次函數，按照對稱軸與的范圍，的位置關系分三種情況討論，借助單調性即可求得其最大值；

（3）先由（2）求出函數的最小值，對恒成立，即要使恒成立，從而轉化為關于的一次不等式，再根據一次函數的單調性可得不等式組，解出即可．

（1）由且，得，

所以函數的定義域為.

又；

（2），

由，且，得.

令，

則，

，，

由題意知即為函數，的最大值．

注意到直線是拋物線的對稱軸，

因為時，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，

①若，即，則；

②若，即，則；

③若，即，則，

綜上有；

（3）由的解析式可得時，，；

時，；

可得，

由對恒成立，

即要使恒成立，

，令，

對所有的，成立，

只需，即有，

解得的取值范圍是或．