Question

【題目】(2015·陜西）如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BAD=，AB=BC=1，
AD=2， E是AD的中點，0是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖2．
（1）證明：CD⊥平面A1OC
（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

見解析。

（2）

【解析】在圖1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，∠BAD=， ∴BE⊥AC，
即在圖2中，BE⊥OA1 ， BE⊥OC，則BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由BC=（-，，0），A1C=（0，，-），
CD＝BE＝(-，0，0)
設平面A1BC的法向量為m=（x，y，z），平面A1CD的法向量為n=（x，y，z），
則mBC＝0mA1C＝0得-x+y＝0y-z＝0，令x=（Ⅰ）知BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
∴∠A1OC為二面角A1-BE-C的平面角，
∴∠A1OC=π/2， 如圖，建立空間坐標系，
∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（，0，0），E（-，0，0），A1（0，0，），C（0，，0）， ，則y=1，z=1，即m=（1，1，1），
由nA1C＝0nCD＝0得x＝0y-z＝0，取n=（0，1，1），
則cos＜m，n＞=mn|m||n|==,
即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為．