Question

(本小題滿分12分）
已知點A,橢圓E:的離心率為；F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點
（I）求E的方程；
（II）設過點A的動直線與E 相交于P,Q兩點。當的面積最大時，求的直線方程.

Answer 1

（I）；（II）或.

試題分析：（I）由直線AF的斜率為，可求．并結合求得，再利用求，進而可確定橢圓E的方程；（II）依題意直線的斜率存在，故可設直線方程為，和橢圓方程聯立得．利用弦長公式表示，利用點到直線的距離求的高．從而三角形的面積可表示為關于變量的函數解析式，再求函數最大值及相應的值，故直線的方程確定．
試題解析：（I）設右焦點，由條件知，，得．
又，所以，．故橢圓的方程為．
（II）當軸時不合題意，故設直線，．
將代入得．當，即時，
．從而．又點到直線的距離
，所以的面積．設，則，．因為，當且僅當時，時取等號，且滿足．所以，當的面積最大時，的方程為或．
【考點定位】1、橢圓的標準方程及簡單幾何性質；2、弦長公式；3、函數的最值．