Question

圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖）.
（1）求點P的坐標；
（2）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線交于A，B兩點，若的面積為2，求C的標準方程.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）首先設切點，由圓的切線的性質，根據半徑的斜率可求切線斜率，進而可表示切線方程為，建立目標函數．故要求面積最小值，只需確定的最大值，由結合目標函數，易求；（2）設橢圓標準方程為，點在橢圓上，代入點得①，利用弦長公式表示，利用點到直線距離公式求高，進而表示的面積，與①聯立，可確定，進而確定橢圓的標準方程．
（1）設切點坐標為．則切線斜率為．切線方程為．即．此時，兩個坐標軸的正半軸于切線圍成的三角形面積．由知當且僅當時，有最大值．即有最小值．因此點的坐標為．
（2）設的標準方程為．點．由點在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由點到直線的距離為及得．解得或．因此，（舍）或，
．從而所求的方程為．