Question

一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4．
（Ⅰ）從袋中隨機抽取一個球，將其編號記為a，然后從袋中余下的三個球中再隨機抽取一個球，將其編號記為b．求關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實根的概率；
（Ⅱ）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n．若以（m，n）作為點P的坐標，求點P落在區域

x-y≥0 x+y-5＜0

內的概率．

Answer 1

分析：（I）本題是一個古典概型，由分步計數原理知基本事件共12個，當a＞0，b＞0時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b，滿足條件的事件中包含6個基本事件，由古典概型公式得到結果．
（II）本題也是一個古典概型，由分步計數原理知基本事件共16個，滿足條件落在區域

x-y≥0 x+y-5＜0

內的事件中包含4個基本事件，由古典概型公式得到結果．

解答：解：設事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實根”．
當a＞0，b＞0時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b．
基本事件共12個：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．
事件A中包含6個基本事件：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），
事件A發生的概率為P(A)=

6

12

=

1

2

；
（Ⅱ）先從袋中隨機取一個球，放回后再從袋中隨機取一個球，點P（m，n）的所有可能有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16個，
落在區域

x-y≥0 x+y-5＜0

內的有（1，1），（2，1），（2，2），（3，1）共4個，
所以點P落在區域

x-y≥0 x+y-5＜0

內的概率為

1

4

．

點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．