Question

【題目】對于非負整數集合（非空），若對任意，或者，或者，則稱為一個好集合．以下記為的元素個數．

（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結論即可）

（2）求出所有滿足的好集合．（同時說明理由）

（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數倍．

Answer 1

【答案】（1），，，．（2）；證明見解析．（3）證明見解析．

【解析】

（1）根據好集合的定義列舉即可得到結果；

（2）設，其中，由知；由可知或，分別討論兩種情況可的結果；

（3）記，則，設，由歸納推理可求得，從而得到，從而得到，可知存在元素滿足題意.

（1），，，．

（2）設，其中，

則由題意：，故，即，

考慮，可知：，或，

若，則考慮，

，，則，

，但此時，，不滿足題意；

若，此時，滿足題意，

，其中為相異正整數．

（3）記，則，

首先，，設，其中，

分別考慮和其他任一元素，由題意可得：也在中，

而，，

，

對于，考慮，，其和大于，故其差，

特別的，，，

由，且，，

以此類推：，

，此時，

故中存在元素，使得中所有元素均為的整數倍．