Question

【題目】如圖，菱與四邊形相交于， 平面， 為的中點， .

(I)求證： 平面；

(II)求直線與平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）.

【解析】試題分析：(I) 取的中點，連接，要證平面，只需證平面平面，又， 可得；

（Ⅱ）以為坐標原點，分別以所在直線為軸， 軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，用空間向量求解即可.

試題解析：

證明：（Ⅰ）取的中點，連接.

因為為菱形對角線的交點，所以為中點，又為中點，所以，

又因為分別為的中點，

所以，又因為，所以，

又，所以平面平面，

又平面，所以平面；

（Ⅱ）連接，設菱形的邊長，則由，得，

又因為，所以，

則在直角三角形中， ，所以，且由平面， ，得平面.

以為坐標原點，分別以所在直線為軸， 軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則

則，設為平面的一個法向量，則即令，得，所以，

又，所以，設直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.