Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分
已知曲線的方程為，、為曲線上的兩點，為坐標原點，且有．
（1）若所在直線的方程為，求的值；
（2）若點為曲線上任意一點，求證：為定值；
（3）在（2）的基礎上，用類比或推廣的方法對新的圓錐曲線寫出一個命題，并對該命題加以證明．

Answer 1

解：（1）∵所在直線的方程為
由   可得    ∴…………2分
又 ∵ ∴ ∴所在直線的方程為，
同理可得……………4分
∴         ……………5分
（2）當點在軸上時，點在軸上，此時有，，
         ……………6分
當點不在軸上時，設所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點的坐標分別為、
由  可得， ∴ ……………8分
同理，由可得， ∴……………9分
∴為定值………11分
（3）根據所寫新命題的思維層次的不同情況分別進行評分
①已知雙曲線的方程為，、為曲線上的兩點，為坐標原點，且有。求證：為定值。              ……………13分
證明：顯然、兩點都不能在軸上，
設所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點的坐標分別為、
由  可得， ……………14分
同理，由可得，
∴………15分
②已知橢圓的方程為，、為曲線上的兩點，為坐標原點，且有。
求證：……………13分
證明：當點在軸上時，點在軸上，
此時有，，       ……………14分
當點不在軸上時，設所在直線的方程為，
則所在直線的方程為，、兩點的坐標分別為、
由  可得， 
……………15分
同理，由可得
， ……………16分
∴…17分
③已知雙曲線的方程為，、為曲線上的兩點，為坐標原點，且有，
則當時，求證：……………14分
證明：顯然、兩點都不能在軸上，
設所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點的坐標分別為、
由  可得， ……15分
同理，由可得
， ……………17分
故……………18分

略