Question

【題目】設非直角△ABC的內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，則下列結論正確的是（寫出所有正確結論的編號）．
①“sinA＞sinB”是“a＞b”的充分必要條件；
②“cosA＜cosB”是“a＞b”的充分必要條件；
③“tanA＞tanB是“a＞b”的充分必要條件；
④“sin2A＞sin2B”是“a＞b”的充分必要條件；
⑤“cos2A＜cos2B”是“a＞b”的充分必要條件．

Answer 1

【答案】①②⑤
【解析】解：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，
等價于a＞b，①正確；
由②cosA＜cosB，利用函數y=cosx在（0，π）上單調遞減得A＞B，等價于a＞b，②正確；
由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A為銳角，B為鈍角，雖然有tanA＞tanB，但由大角對大邊得a＜b，③錯誤；
由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如 A=45°，B=60°時，雖然有sin2A＞sin2B，但由大角對大邊得a＜b，④錯誤；
由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等價于a＞b，⑤正確．
所以答案是：①②⑤