Question

【題目】動點在橢圓上，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，已知點的軌跡是過點的圓．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于，兩點（，在軸的同側），，為橢圓的左、右焦點，若，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3．

【解析】

（1）設點，，得到，點的軌跡是過的圓，故，得到橢圓方程.

（2）如圖，延長交于點，由對稱性可知：，設，，直線的方程為，聯立方程得到，，計算，利用均值不等式得到答案.

（1）設點，，則點，，，

，，，

點在橢圓上，，即為點的軌跡方程．

又點的軌跡是過的圓，，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）如圖，延長交于點，由對稱性可知：，

由（1）可知，，

設，，直線的方程為，

由可得，，

，，

，

設與的距離為，則四邊形面積

，

而，

，

當且僅當，即時，取等號．

故四邊形面積的最大值為3．