【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的左頂點為
，右焦點為
，
，
為橢圓
上兩點，圓
.
（1）若
軸，且滿足直線
與圓
相切，求圓的方程；
（2）若圓的半徑為2，點，滿足
，求直線
被圓截得弦長的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根據題意先計算出
點坐標，然后得到直線
的方程，根據直線與圓相切，得到半徑的大小，從而得到所求圓的方程；（2）先計算
斜率不存在時，被圓
截得弦長，斜率存在時設為
，與橢圓聯立，得到
和
，代入到
得到
的關系，表示出直線被圓截得的弦長，代入的關系，從而得到弦長的最大值.
解：（1）因為橢圓
的方程為
，
所以
，
，
因為
軸，所以
，
根據對稱性，可取
，
則直線的方程為
，即
.
因為直線與圓相切，得
，
所以圓的方程為 
.
（2）圓的半徑為2，可得圓的方程為
.
①當
軸時，
，所以
，
得
，
此時得直線被圓截得的弦長為
.
②當與
軸不垂直時，設直線的方程為，
，
，
首先由，得
，
即
，所以
（*）.
聯立
，消去得
，
在
時，
，
代入（*）式，得
，
由于圓心到直線的距離為
，
所以直線被圓截得的弦長為
，
故當
時，
有最大值為.
綜上，因為
，
所以直線被圓截得的弦長的最大值為.
優質課堂快樂成長系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的右焦點為F到直線
的距離為
，拋物線
的焦點與橢圓E的焦點F重合，過F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點，交拋物線于C，D兩點，且
．
（1）求橢圓E及拋物線G的方程;
（2）過點F且斜率為k的直線l交橢圓于A，B點，交拋物線于M，N兩點，如圖所示，請問是否存在實常數
，使
為常數，若存在，求出的值;若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學號為1，2，3的三位小學生，在課余時間一起玩“擲骰子爬樓梯”游戲，規則如下：投擲一顆骰子，將每次出現點數除以3，若學號與之同余(同除以3余數相同)，則該小學生可以上2階樓梯，另外兩位只能上1階樓梯，假定他們都是從平地(0階樓梯)開始向上爬，且樓梯數足夠多.
（1）經過2次投擲骰子后，學號為1的同學站在第X階樓梯上，試求X的分布列；
（2）經過多次投擲后，學號為3的小學生能站在第n階樓梯的概率記為
，試求
，
，
的值，并探究數列
可能滿足的一個遞推關系和通項公式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前n項和為
，把滿足條件
的所有數列構成的集合記為
．
（1）若數列的通項為
，則是否屬于？
（2）若數列是等差數列，且
，求
的取值范圍；
（3）若數列的各項均為正數，且
，數列
中是否存在無窮多項依次成等差數列，若存在，給出一個數列的通項；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
為參數），以
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，點
是曲線上的動點，點
在
的延長線上，且
，點的軌跡為
．
（1）求直線及曲線的極坐標方程；
（2）若射線
與直線交于點
，與曲線交于點
（與原點不重合），求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】動點
在橢圓
上，過點作
軸的垂線，垂足為
，點
滿足
，已知點的軌跡是過點
的圓．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設直線
與橢圓交于
，
兩點（，在軸的同側），
，
為橢圓的左、右焦點，若
，求四邊形
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，由直三棱柱
和四棱錐
構成的幾何體中， 
，平面
平面
．
（Ⅰ）求證： 
；
（Ⅱ）在線段
上是否存在點
，使直線
與平面
所成的角為
？若存在，求
的值，若不存在，說明理由．
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