Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，．

求SC與平面ASD所成的角余弦值；

求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）建立直角坐標(biāo)系，求出和平面ASD的一個(gè)法向量，設(shè)SC與平面ASD所成的角為θ，利用向量法求解即可；

（2）分別求出平面SAB和平面SCD的法向量，利用向量法求解平面SAB和平面SCD所成角的余弦值．

（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，S（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0），＝（2，2，﹣2），∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一個(gè)法向量為＝（0，2，0），設(shè)SC與平面ASD所成的角為θ，則sinθ＝ = ＝，故cosθ＝，即SC與平面ASD所成的角余弦為：.

（2）平面SAB的一個(gè)法向量為：＝（1，0，0），∵＝（2，2，﹣2），＝（1，0，﹣2），設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），由，令z＝1可得平面SCD的一個(gè)法向量為＝（2，﹣1，1）顯然，平面SAB和平面SCD所成角為銳角，不妨設(shè)為α，則cosα＝＝，即平面SAB和平面SCD所成角的余弦值為 .