Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若函數有三個零點，證明：當時，．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）先求導，再對a分類討論得到的單調性.(2)先轉化函數有三個零點得到，再利用分析法和導數證明.

詳解：(1)

令,則或,

當時,,在上是增函數；

當時,令,得,,

所以在,上是增函數；

令,得,

所以在上是減函數

當時,令,得,,

所以在,上是增函數；

令,得,所以在上是減函數

綜上所述：

當時,在上是增函數；

當時,在,上是增函數,在上是減函數.

當時,在,上是增函數,在上是減函數.

（2）由(1)可知：當時,在上是增函數，函數不可能有三個零點；

當時,在,上是增函數,在上是減函數.

的極小值為，函數不可能有三個零點

當時,,

要滿足有三個零點,則需,即

當時,要證明：等價于要證明

即要證：

由于,故等價于證明：,證明如下：

構造函數

令

,函數在單調遞增

,函數在單調遞增

,

∴．