Question

（12分）定義在區(qū)間(－1，1)上的函數(shù)f (x)滿足：①對任意的x，y∈(－1，1)，都有f (x) + f (y) =; ②當(dāng)x∈(－1，0)，f (x) > 0.

    （1）求證f (x)為奇函數(shù)；

    （2）試解不等式：f (x) + f (x－1) .

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）不等式的解集為

【解析】解：（1）解：令x = y = 0，則

        f (0) + f (0) =   ∴ f (0) = 0

        令x∈(－1, 1)  ∴－x∈(－1, 1)

        ∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0

        ∴ f (－x) =－f (x)

        ∴ f (x) 在(－1，1)上為奇函數(shù)…………………4分

（2）解：令－1< x₁ < x₂ < 1

        則f (x₁) －f (x₂) = f (x₁) + f (－x₂) =

        ∵x₁－x₂ < 0，1－x₁x₂ > 0

        ∴  ∴ > 0

        ∴ f (x₁) > f (x₂)  ∴ f (x) 在(－1，1)上為減函數(shù)

        又f (x) + f (x－1) >

        …………………8分

 

        ∴ 不等式化為

    或

    ∴ 不等式的解集為…………………12分