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如圖所示,設拋物線的焦點為,且其準線與軸交于,以為焦點,離心率的橢圓與拋物線軸上方的一個交點為P.

(1)當時,求橢圓的方程;
(2)是否存在實數,使得的三條邊的邊長是連續的自然數?若存在,求出這樣的實數;若不存在,請說明理由.
(1);(2).

試題分析:(1)依題意由拋物線方程容易得橢圓的方程,代入既得橢圓方程;(2)假設存在滿足條件的實數,由拋物線和橢圓方程求交點P,使得,求得.
試題解析:(1)拋物線的焦點為,            1分
橢圓的半焦距,離心率,所以橢圓的長半軸長,短半軸長,3分
所以橢圓的方程為,                             4分
時,橢圓的方程.                              6分
(2)假設存在滿足條件的實數,解得, 8分
,,                    11分
所以的三條邊的邊長分別是,,
所以當時使得的三條邊的邊長是連續的自然數.                13分
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