Question

（2012•青浦區一模）如圖：三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是邊長為2的正三角形，且PB與底面ABC所成的角為

π

3

．若M是BC的中點，求：
（1）三棱錐P-ABC的體積；
（2）異面直線PM與AC所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（1）欲求三棱錐P-ABC的體積，只需求出底面積和高即可，因為底面ABC是邊長為2的正三角形，所以底面積可用

1

2

a2 ×

3

2

來計算，其中a是正三角形的邊長，又因為PA⊥底面ABC，所以三棱錐的高就是PA長，再代入三棱錐的體積公式即可．
（2）欲求異面直線所成角，只需平移兩條異面直線中的一條，是它們成為相交直線即可，由M為BC中點，可借助三角形的中位線平行于第三邊的性質，做出△ABC的中位線，就可平移BC，把異面直線所成角轉化為平面角，再放入△PMN中，求出角即可．

解答：解：（1）因為PA⊥底面ABC，PB與底面ABC所成的角為

π

3

所以 ∠PBA=

π

3

  因為AB=2，所以PA=2

3

VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

•

3

4

•4•2

3

=2
（2）連接PM，取AB的中點，記為N，連接MN，則MN∥AC
所以∠PMN為異面直線PM與AC所成的角          
計算可得：PN=

13

，MN=1，PM=

15

cos∠PMN=

1+15-13

2 15

=

15

10

異面直線PM與AC所成的角為arccos

15

10

點評：本題主要考查了在幾何體中求異面直線角的能力．解題關鍵再與找平行線，本題主要通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧．