Question

已知平面上一定點C（4，0）和一定直線l：x=1，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且．
（1）問：點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；
（2）設直線l：y=kx+1與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過點D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設P的坐標為（x，y），由
得，
∴（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，…（3分）
化簡得．
∴P點在雙曲線上，其方程為．…（4分）
（2）設A，B點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由得：（3-k²）x²-2kx-13=0，…（6分）
∴，
∵AB與雙曲線交于兩點，
∴△＞0，即4k²-4（3-k²）（-13）＞0，
解得．…（8分）
∵若以AB為直徑的圓過D（0，-2），則AD⊥BD，
∴k_AD•k_BD=-1，…（10分）
即，
∴（y₁+2）（y₂+2）+x₁x₂=0?（kx₁+3）（kx₂+3）+x₁x₂=0
∴
解得，∴，故存在k值為．…（13分）
分析：（1）設P的坐標為（x，y），由，得，由此能判斷P點在雙曲線上，并能求出其方程．
（2）設A，B點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由得：（3-k²）x²-2kx-13=0，然后利用韋達定理和根的判別式能推導出．再由以AB為直徑的圓過D（0，-2），得，所以，由此能夠導出存在k值為．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．