Question

【題目】在無窮數列{an}中，a1=p是正整數，且滿足 （Ⅰ）當a3=9時，給出p的值；（結論不要求證明）
（Ⅱ）設p=7，數列{an}的前n項和為Sn ， 求S150；
（Ⅲ）如果存在m∈N* ， 使得am=1，求出符合條件的p的所有值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）p=36，或13．

（Ⅱ）由題意，a1=7，

代入，得a2=12，a3=6，a4=3，a5=8，a6=4，a7=2，a8=1，a9=6，…

所以數列{an}中的項，從第三項起每隔6項重復一次（注：a3=a9），

故S150=a1+a2+24（a3+a4+…+a8）+a3+a4+a5+a6

=7+12+24（6+3+8+4+2+1）+6+3+8+4=616．

（Ⅲ）由數列{an}的定義，知 ．

設t為數列{an}中最小的數，即 ，

又因為當an為偶數時， ，

所以t必為奇數．

設ak=t，則ak+1=t+5， ，

所以 ，解得t≤5．

所以t∈{1，3，5}．

如果ak=t=3，

那么由數列{an}的定義，得ak+1=8，ak+2=4，ak+3=2，ak+4=1，

這顯然與t=3為{an}中最小的數矛盾，

所以t≠3．

如果ak=t=5，

當k=1時，p=5；

當k≥2時，由數列{an}的定義，得ak﹣1能被5整除，…，得a1=p被5整除；

所以當且僅當 時，t=5．

這與題意不符．

所以當 時，數列{an}中最小的數t=1，

即符合條件的p值的集合是{r|r∈N*，且r不能被5整除}．

【解析】（Ⅰ）由分段數列，推斷計算即可得到所求p的值；（Ⅱ）由題意可得數列{an}中的項，從第三項起每隔6項重復一次，即可得到所求和；（Ⅲ）由數列{an}的定義，知 ．設t為數列{an}中最小的數，即 ，推得t∈{1，3，5}．分別討論t=3，5，1，推理，即可得到符合條件的p值的集合．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．