Question

【題目】已知函數，其中.

（1）求函數的單調區間；

（2）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求導，讓導函數為零，解出方程，根據根之間的大小關系，進行分類討論，求出函數的單調區間；

（2）（）由（1）知，當時，單調遞增，可以判斷有一個零點；

（）當或時，,結合（1）中的結論，對作如下分類，利用單調性，判斷零點的個數.

① 當時，可以判斷有二個零點；

② 當時，可以判斷有一個零點；

③ 當時，∴當時，可以判斷有1個零點；

當時，可以判斷有2個零點；

當時，可以判斷有3個零點；

解：（1），

令得，，

①當，即時，恒成立，∴在上增；

②當，即時，令，得或，

令，得，

∴在上增，在上減，在上增；

③當即時，令，得或，

令，得，

∴在上增，在上減，在上增；

綜上，當時，函數的減區間為，增區間為；

當時，的單調增區間為；

當時，的單調增區間為，，單調減區間為；

當時，的單調增區間為，，單調減區間為.

（2）（方法一）（）由（1）知，當時，單調遞增，又，故1個零點；

（）當或時，，

① 當時，在上增，在上減，在上增，

∵，，，此時2個零點；

② 當時，在上增，在上減，在上增；

，又，此時1個零點；

③ 當時，在上增，在上減，在上增；

，，

，

∵，

∴當時，，有1個零點；

當時，，有2個零點；

當時，，有3個零點；

綜上所述：當時，有1個零點；當或時，有2個零點；當時，有3個零點.