Question

已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于點，.
（Ⅰ）若（點在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點為坐標原點）.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的方程知焦點為，準線為。設，因為點在第一象限所以且。由拋物線的定義可知等于點到拋物線準線的距離，即，可得，從而可求得點的坐標。由點和點可求直線的方程。（Ⅱ）可分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，為了省去討論也可直接設直線方程為，與拋物線聯立方程，消去整理可得關于的一元二次方程，因為有兩個交點即方程有兩根，所以判別式應大于0。然后用韋達定理得根與系數的關系。用向量數量積公式求即可得證。
試題解析：解：（Ⅰ）設，由題意，且.
點在拋物線上，且，
點到準線的距離為.
，.                                     2分
又，，
.
.
，                                              4分
直線的方程為，即.        5分
（Ⅱ）由題意可設直線的方程為：.
由得，即.          7分
顯然恒成立.
設，，則                  9分

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即為定值.                                11分