Question

（本小題滿分12分）
已知各項均為正數的數列滿足：

（I）求的值，猜測的表達式并給予證明；
（II）求證：
（III）設數列的前n項和為

Answer 1

略

解：（Ⅰ），
猜測：
下用數學歸納法
①當，猜想成立；
②假設當時猜想成立，即
由條件

兩式相減得：

則當時，

時，猜想也成立
故對一切的成立
（Ⅱ）設
由
由的單調性知在內有且只有一個極大值點，
且

即
令時有
又當

（Ⅲ）
由（Ⅱ）可知


即對一切
又


即對一切