Question

(本小題滿分12分)
已知數列{a_n}的前三項與數列{b_n}的前三項對應相等，且a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－1a_n＝8n對任意的n∈N^*都成立，數列{b_n＋1－b_n}是等差數列.
(1)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
(2)是否存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1)？請說明理由.

Answer 1

（1）a_n＝2^4－n(n∈N^*)，b_n＝n²－7n＋14(n∈N^*).
（2）不存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1).理由略

解：(1)已知a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－1a_n＝8n(n∈N^*).①
n≥2時，a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－2a_n－1＝8(n－1)(n∈N^*).②
①－②得2^n－1a_n＝8，解得a_n＝2^4－n，在①中令n＝1，可得a₁＝8＝2^4－1，
所以a_n＝2^4－n(n∈N^*).(4分)
由題意b₁＝8，b₂＝4，b₃＝2，所以b₂－b₁＝－4，b₃－b₂＝－2，
∴數列{b_n＋1－b_n}的公差為－2－(－4)＝2，
∴b_n＋1－b_n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)
＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n²－7n＋14(n∈N^*).(8分)
(2)b_k－a_k＝k²－7k＋14－2^4－k，當k≥4時，f(k)＝(k－)²＋－2^4－k單調遞增，
且f(4)＝1，所以k≥4時，f(k)＝k²－7k＋14－2^4－k≥1.
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，所以，不存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1).(12分)