Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點滿足方程.

（1）求點M的軌跡C的方程；

（2）作曲線C關于軸對稱的曲線，記為，在曲線C上任取一點，過點P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點，過點A，B分別作曲線的切線，，且，的交點為Q，試問以Q為直角的是否存在，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2）存在，或

【解析】

（1）平方化簡，即可求解；

（2）根據導數的幾何意義求出切線l的方程，與曲線方程聯立，由韋達定理，確定兩交點A，B坐標關系，再利用導數的幾何意義，求出切線，的方程，并聯立求出Q點坐標，

利用，結合A，B坐標關系，即可求解.

（1）由，

兩邊平方并化簡，得，即，

所以點M的軌跡C的方程為.

（2）依題可設點，，

曲線C切于點P的切線l的斜率為，

切線l的方程為，

整理得

依題可知曲線，

聯立方程組，，

設，，所以，.（*）

設曲線上點處的切線斜率為，

切線方程為，整理得，

同理可得曲線上點處的切線方程為，

聯立方程組，，

又由（*）式得，

所以，的交點Q的坐標為，

假設以Q為直角的存在，則有，

而，，

所以由，得，

即，

即，

化簡得，

因為由題得，所以或，

所以點P的坐標為或.