【題目】已知拋物線
，
為其焦點，
為其準線，過任作一條直線交拋物線于
兩點，
、
分別為
、
在上的射影，
為
的中點，給出下列命題：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
與
的交點的
軸上；（5）
與
交于原點.
其中真命題的序號為_________.
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
【解析】
（1）由
、
在拋物線上，根據拋物線的定義可知
，
，從而有相等的角，由此可判斷
；
（2）取
的中點
，利用中位線即拋物線的定義可得
，從而可得
；
（3）由（2）知，
平分
，從而可得
，根據，利用垂直于同一直線的兩條直線平行，可得結論；
（4）取
與
軸的交點
，可得
，可得出
的中點在軸上，從而得出結論；
（5）設直線的方程為
，設點
、
，證明出
、
、三點共線，同理得出、、
三點共線，由此可得出結論.
（1）由于、在拋物線上，且、分別為、在準線
上的射影，
根據拋物線的定義可知，，則
，
，
，
，則
，
即
，
，則
，即，（1）正確；
（2）取的中點，則，
，即，
（2）正確；
（3）由（2）知，
，
，
，
，
，
平分，
，由于
，
，（3）正確；
（4）取與軸的交點，則
，
軸，可知
，
，即點
為的中點，由（3）知，平分，
過點，
所以，與的交點的軸上，（4）正確；
（5）設直線的方程為，設點、，則點
、
，
將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去
得，
，
由韋達定理得
，
，
直線
的斜率為
，
直線
的斜率為
，
，
則、、三點共線，同理得出、、三點共線，
所以，
與
交于原點，（5）正確.
綜上所述，真命題的序號為：（1）（2）（3）（4）（5）.
故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦點和上頂點分別為
，定義：
為橢圓
的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點
是橢圓
的一個焦點，且
上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4
（1）若橢圓
與橢圓相似，且與的相似比為2：1，求橢圓的方程.
（2）已知點
是橢圓上的任意一點，若點
是直線
與拋物線
異于原點的交點，證明：點一定在雙曲線
上.
（3）已知直線
，與橢圓相似且短半軸長為
的橢圓為
，是否存在正方形
，（設其面積為
），使得
在直線
上，
在曲線上？若存在，求出函數
的解析式及定義域；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知在長方體
中，
，點
為
上的一個動點，平面
與棱
交于點
，給出下列命題：
①四棱錐
的體積為
；
②存在唯一的點，使截面四邊形
的周長取得最小值
；
③當點不與
，
重合時，在棱
上均存在點
，使得
平面
④存在唯一一點，使得
平面，且
其中正確的命題是_____________（填寫所有正確的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，點
滿足方程
.
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）作曲線C關于
軸對稱的曲線，記為
，在曲線C上任取一點
，過點P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點，過點A，B分別作曲線的切線
，
，且，的交點為Q，試問以Q為直角的
是否存在，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
（
為參數），將曲線
上所有點橫坐標縮短為原來的
，縱坐標不變，得到曲線
，過點
且傾斜角為
的直線
與曲線交于
、
兩點．
（1）求曲線的參數方程和的取值范圍；
（2）求
中點
的軌跡的參數方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，圓
，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）設不經過點
的直線l與曲線C相交于A，B兩點，直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】棋盤上標有第
、
、
、
、
站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調到第
站或第站時，游戲結束.設棋子位于第
站的概率為
.
（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣
次后，求棋手所走步數之和
的分布列與數學期望；
（2）證明：
；
（3）求
、
的值.
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