Question

設函數f(x)＝(x＋1)ln x－2x.
(1)求函數的單調區間；
(2)設h(x)＝f′(x)＋，若h(x)>k(k∈Z)恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）在(0，＋∞)上單調遞增．（2）0

(1)函數的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝ln x＋－1，不妨令g(x)＝ln x＋－1，g′(x)＝－＝，
當x>1 ，g′(x)>0，函數g(x)＝f′(x)單調遞增，又因為f′(x)>f′(1)＝0，所以x>1，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；
當0<x<1，g′(x)<0，g(x)＝f′(x)單調遞減，
又因為f′(x)>f′(1)＝0，所以0<x<1，f′(x)>0.
函數f(x)單調遞增．
所以函數y＝f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
(2)h(x)＝ln x＋－1＋，h′(x)＝－－＝，設φ(x)＝xe^x－e^x－x²，φ′(x)＝xe^x－2x＝x(e^x－2)，當x∈(0，ln 2)，φ′(x)<0，函數φ(x)單調遞減，
又因為φ(x)<φ(0)＝－1<0，所以0<x<ln 2，h′(x)<0，函數h(x)單調遞減．
當x∈(ln 2，＋∞)，φ′(x)>0，函數φ(x)單調遞增，又因為φ(x)>φ(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)²，又φ(1)＝－1<0，φ(2)＝e²－4>0，故存在x₀∈(1,2)，使得φ(x)＝0，即x₀ex₀－ex₀－＝0，在(0，x₀)上，φ(x)<0，在(x₀，＋∞)上，φ(x)>0.
即h(x)在(0，x₀)上遞減，在(x₀，＋∞)上遞增．
所以有h(x)≥h(x₀)＝ln x₀＋－1＋，又＝－，所以h(x)≥h(x₀)＝ln x₀＋－1＋＝ln x₀＋－－1，不妨令M(x)＝ln x＋－－1，當x∈(1,2)時，M′(x)＝.
M′(x)＝＝>0恒成立，所以，M(x)是單增函數，又M(1)＝0，M(2)＝ln 2－<1，
所以有1>h(x₀)＝ln x₀＋－－1>0.
所以k≤0，所以k的最大值為0.