Question

已知函數的圖像在點處的切線斜率為10.
(1)求實數的值;
(2)判斷方程根的個數,并證明你的結論;
(21)探究: 是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側? 若存在,求出點A的坐標;若不存在,說明理由.

Answer 1

（1）8；（2）一個，證明參考解析；(21)

試題分析：（1）曲線上切線的斜率是通過導數的幾何意義，求曲線的導數再將該點的橫坐標代入即可求得該點的斜率，從而可解得的值.
（2）判斷方程的根的情況，一般是通過構造新的函數從而證明函數的與x軸的交點的個數得到對應方程的根的個數.
(21)因為是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側.是通過說明過該點的切線方程與曲線方程聯立后，構建一個新的函數，要說明該點不是新函數的極值點即可.
試題解析：（1）因為.圖像在點處的切線斜率為10，.解得.
（2）方程 只有一個實根.證明如下：由（1）可知 ，令，因為，，所以在內至少有一個實根.又因為.所以在遞增，所以函數在上有且只有一個零點，及方程有且只有一個實根.
(21)由，，可求得曲線在點處的切線方程為.即.記，.若存在這樣的點，使得曲線在該點附近的左右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側，則問題等價于不是極值點，由二次函數的性質可知，當且僅當時，不是極值點，即.所以在上遞增.又，所以當時，，當時，，即存在唯一點.使得曲線在點A附近的左右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側.