Question

（考生注意：請在下列兩題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題評分）
（A）在極坐標系中，過點（2

2

，

π

4

）作圓ρ=4sinθ的切線，則切線的極坐標方程為

ρcosθ=2

（B）已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有實數解，則a的取值范圍為

[-3，-1]

．

Answer 1

分析：（A）由圓ρ=4sinθ，知ρ²=4ρsinθ，故x²+y²-4y=0，由極坐標系中，點（2

2

，

π

4

），知x=2

2

•cos

π

4

=2，y=2

2

sin

π

4

=2，由A（2，2）在x²+y²-4y=0上，知過點A（2，2）的圓x²+y²-4y=0的切線極坐標方程．
（B）由已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有解，分離出參數a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，轉化為求函數f（x）=|2^x-1|-|2^x+1|的值域．

解答：解：（A）∵圓ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，
∴x²+y²-4y=0，
∵極坐標系中，點（2

2

，

π

4

），
∴x=2

2

•cos

π

4

=2，y=2

2

sin

π

4

=2，
∵A（2，2）在x²+y²-4y=0上，
x²+y²-4y=0的圓心B（0，2），
∴kAB=

2-2

0-2

=0，
∴過點A（2，2）的圓x²+y²-4y=0的切線方程為：x=2．
即ρcosθ=2．
故答案為：ρcosθ=2．
（B）解：分離出參數a+1，
∵a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，
∵函數f（x）=|2^x-1|-|2^x+1|值域為：[-2，0）
∴a+1∈[-2，0）
∴a的取值范圍為：-3≤a≤-1．
故答案為：[-3，-1）．

點評：（A）本題考查簡單曲線的極坐標方程，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
（B）通過構造函數，從而借助于函數的圖象研究了函數值域的問題，將復雜問題簡單化．整個解題過程充滿對函數、方程和不等式的研究和轉化，也充滿了函數與方程思想的應用．