Question

若函數f（x）在定義域D內某區間I上是增函數，而y=

f(x)

x

在I上是減函數，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數”．已知f（x）=x²+（cotθ-1）x+b（θ、b是常數，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函數，求θ、b應滿足的條件；
（2）當cotθ≥1時，f（x）在（0，1]上是否是“弱增函數”，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）是偶函數，可得f（x）=f（-x），由此可求θ、b應滿足的條件；
（2）確定f（x）在（0，1]上是增函數，考察函數g(x)=

f(x)

x

=x+

b

x

+(cotθ-1)，分類討論，確定函數的單調性，即可求得結論．

解答：解：（1）若f（x）是偶函數，則f（x）=f（-x），…（2分）
即x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b對任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，…（4分）
∴若f（x）是偶函數，則θ=kπ+

π

4

（k∈Z），b＞0，…（6分）
（2）當cotθ≥1時，f（x）=x²+（cotθ-1）x+b的對稱軸是x=-

cotθ-1

2

≤0
∴f（x）在（0，1]上是增函數 …（8分）
考察函數g(x)=

f(x)

x

=x+

b

x

+(cotθ-1)，
①當

b

≥1，即b≥1時，設0＜x₁＜x₂≤1，
則g(x1)-g(x2)=[x1+

b

x1

+(cotθ-1)]-[x2+

b

x2

+(cotθ-1)]=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1≤b，
∴g(x1)-g(x2)=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

＞0
即g（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）在（0，1]上是“弱增函數”；…（12分）
②當0＜

b

＜1，即0＜b＜1時，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是單調函數，∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函數”．…（13分）
綜上所述，b≥1時，f（x）在（0，1]上是“弱增函數”；0＜b＜1時，f（x）在（0，1]上不是“弱增函數”…（14分）

點評：本題考查函數的奇偶性，考查新定義，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．